问题
填空题
矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-2，1），B（2，1），C（2，-1），D（-2，-1），过原点且互相垂直的两条直线分别与矩形的边相交于E、F、G、H四点，则四边形EGFH的面积的最小值为______，最大值为______．
答案
设过原点且互相垂直的两条直线分别为 y=kx，和 y=-
x，（不妨设k＞0）由题意得，1 k
则 E （
，1），F （-1 k
，-1），G（-k，1），H（k，-1），1 k
由两点间的距离公式得 EF=
=2(
)2+222 k
，GH=1+ 1 k2
=2(2K)2+4
，1+k2
四边形EGFH的面积为 S=
•EF•GH=21 2
=22+k2+ 1 k2
=2|k+(k+
)21 k
|=2（k+1 k
）．1 k
根据E、G 两点都在线段AB上，可得-2≤
≤2，且-2≤-k≤2，∴1 k
≤k≤2．1 2
又函数 S=2（k+
） 在[1 k
，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，故 k=1时，S有最小值为4．1 2
当 k=
时，S=5； 当 k=2时，S=5． 当 k=0时，S=4．1 2
综上，S的最小值等于4，最大值等于 5，
故答案为 4，5．
