问题 解答题
已知函数f(x)=cosx+sin2
x
2
-
3
2
sinx

(1)求f(x)在x∈[0,π]上的最大值和最小值;
(2)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(B)=0,b=
5
,c=
3
,求a的长度.
答案

函数f(x)=cosx+sin2

x
2
-
3
2
sinx

=cosx+

1
2
(1-cosx)-
3
2
sinx

=

1
2
+
1
2
cosx-
3
2
sinx

=

1
2
+cos(x+
π
3
),

∵x∈[0,π],∴x+

π
3
∈[
π
3
3
],

∴cos(x+

π
3
)∈[-1,
1
2
],

则函数f(x)的最大值为1,最小值为-

1
2

(2)∵f(B)=0,

1
2
+cos(B+
π
3
)=0,即cos(B+
π
3
)=-
1
2

由B为三角形的内角,

得出B+

π
3
=
3
,即B=
π
3
,又b=
5
,c=
3

根据余弦定理得:b2=a2+c2-2accosB,即5=a2+3-

3
a,

解得:a=

3
+
11
2
或a=
3
-
11
2
(舍去),

则a的长度为

3
+
11
2

单项选择题
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