（1）当m=0时，联立方程可得：ax²=1，∴x=±

1 a

∴A(

1 a

，1)，B(-

1 a

，1)，∵∠AOB=

π

3

，∴

1

2

=

- 1 a +1

1 a +1

解得：a=3，

∴方程为

3x2

2

+

y2

2

=1

（2）设A、B两点坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），联立方程：

y=mx+1 ax2+y2=2

可得：

（a+m²）x²+2mx-1=0

∴

x1+x2=- 2m a+m2 x1x2=- 1 a+m2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(mx1+1)(mx2+1)=（m²+1）x₁x₂+m（x₁+x₂）+1=-

m2+1

a+m2

-

2m2

a+m2

+1=

a-2m2-1

a+m2

要使

OA

•

OB

=T，则-2m²+（a-1）=Tm²+Ta∴T=-2且a-1=Ta即a=

1

3

且T=-2

而当a=

1

3

时，

1

3

+m2≠0且△=4m2+4(

1

3

+m2)=8m2+

4

3

＞0恒成立∴当实数a=

1

3

时，对任意m∈R，都有

OA

•

OB

=-2

（3）设P（x，y），∴

MP

=(x，y+1)，∴y+1=y1+y2=m(x1+x2)+2=

4

2-m2

∴y=

2+m2

2-m2

又对方程（m²-2）x²+2mx-1=0，△=8m²-8＞0，∴m²＞1且m²≠2

∴y=-1+

4

2-m2

，∴y＞3或y＜-1