问题 解答题

已知点A(-2,0),B(1,0),平面内的动点P满足|PA|=λ|PB|(λ为常数,λ>0).

(1)求点P的轨迹E的方程,并指出其表示的曲线的形状.

(2)当λ=2时,P的轨迹E与x轴交于C、D两点,M是轨迹上异于C、D的任意一点,直线l:x=-3,直线CM与直线l交于点C′,直线DM与直线l交于点D'.求证:以C′D′为直径的圆总过定点,并求出定点坐标.

答案

(1)设点P(x,y),由|PA|=λ|PB|得:

(x+2)2+y2
(x-1)2+y2

变形整理得:(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+(4+2λ2)x+4-λ2=0

当λ=1时,化为x=-

1
2
,此时轨迹E所表示的曲线为直线.

当λ≠1时,化为(x+

λ2+2
1-λ2
)2+y2=
9λ2
(1-λ2)2

此时轨迹E所表示的曲线是以(-

λ2+2
1-λ2
,0)为圆心,半径为|
1-λ2
|
的圆;

(2)λ=2时,方程(x+

λ2+2
1-λ2
)2+y2=
9λ2
(1-λ2)2
化为x2-4x+y2=0,

P的轨迹方程为x2-4x+y2=0,此时C(0,0)、D(4,0),设M(x0,y0),

则直线CM的方程为:y=

y0
x0
x.

联立方程

x=-3
y=
y0
x0
x
,得C′(-3,
-3y0
x0
)

直线DM的方程为:y=

y0
x0-4
(x-4).

联立方程

x=-3
y=
y0
x0-4
(x-4)
D′(-3,
-7y0
x0-4
)

∴以C'D'为直径的圆的方程为(x+3)2+(y+

3y0
x0
)(y+
7y0
x0-4
)=0,

y20
=4x0-
x20
,整理得:(x+3)2+y2-21+
10x0-12
y0
y=0

令y=0,则有(x+3)2-21=0,解得x=-3±

21

∴以C'D'为直径的圆总过定点,且定点坐标为(-3±

21
,0).

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题