已知点A(-2,0),B(1,0),平面内的动点P满足|PA|=λ|PB|(λ为常数,λ>0).
(1)求点P的轨迹E的方程,并指出其表示的曲线的形状.
(2)当λ=2时,P的轨迹E与x轴交于C、D两点,M是轨迹上异于C、D的任意一点,直线l:x=-3,直线CM与直线l交于点C′,直线DM与直线l交于点D'.求证:以C′D′为直径的圆总过定点,并求出定点坐标.
(1)设点P(x,y),由|PA|=λ|PB|得:=λ
变形整理得:(1-λ2)x2+(1-λ2)y2+(4+2λ2)x+4-λ2=0
当λ=1时,化为x=-,此时轨迹E所表示的曲线为直线.
当λ≠1时,化为(x+)2+y2=.
此时轨迹E所表示的曲线是以(-,0)为圆心,半径为||的圆;
(2)λ=2时,方程(x+)2+y2=化为x2-4x+y2=0,
P的轨迹方程为x2-4x+y2=0,此时C(0,0)、D(4,0),设M(x0,y0),
则直线CM的方程为:y=x.
联立方程,得C′(-3,),
直线DM的方程为:y=(x-4).
联立方程,D′(-3,).
∴以C'D'为直径的圆的方程为(x+3)2+(y+)(y+)=0,
又=4x0-,整理得:(x+3)2+y2-21+y=0.
令y=0,则有(x+3)2-21=0,解得x=-3±
∴以C'D'为直径的圆总过定点,且定点坐标为(-3±,0).