（1）设动点P的坐标为（x，y），圆C₁的圆心C₁坐标为（2，0），半径为1；圆C₂的圆心C₂坐标为（0，4），半径为1；…2分

因为动点P到圆C₁，C₂上的点距离最小值相等，所以|PC₁|=|PC₂|…4分

即

(x-2)2+y2

=

x2+(y-4)2

，化简得x-2y+3=0．

因此点P的轨迹方程是x-2y+3=0．…6分

（2）直线l的方程可化为y=

m

m2+1

x-

4m

m2+1

，直线l的斜率k=

m

m2+1

因为|m|≤

1

2

(m2+1)，所以|k|=

|m|

m2+1

≤

1

2

，当且仅当|m|=1时等号成立．

所以，k2≤

1

4

…8分

所以l的方程为y=k（x-4），其中|k|≤

1

2

．

圆心C₁到直线l的距离d=

|2k|

k2+1

…10分

故设直线被圆C₁所截得的弦长为a，由(

a

2

)2=r2-d2知

当a=

6

3

时有(

|2k|

k2+1

)2=1-(

6

6

)2…12分

解得k2=

5

19

＞

1

4

…13分

所以不存在m值使直线被圆C₁所截得的弦长为

6

3

，…14分