（1）由已知：抛物线的准线为y=-

1

2

，

∴

p

2

=

1

2

，∴p=1…（2分）

∴抛物线为x²=2y即y=

1

2

x2，

∴a=

1

2

…（5分）

（2）设M(x1，

1

2

x

21

)，N(x2，

1

2

x

22

)，P(x，y)

∵y=

1

2

x2，∴y′=x，∴k_PM=x₁

直线PM：y-

1

2

x

21

=x1(x-x1)，即y=x1x-

1

2

x

21

令y=0得x=

1

2

x1即A(

1

2

x1，0)

同理PN：y=x2x-

1

2

x

22

，B(

1

2

x2，0)…（9分）

由

y=x1x- 1 2 x 21 y=x2x- 1 2 x 22

得

x= x1+x2 2 y= x1x2 2

∵|AB|=1，∴|

1

2

x1-

1

2

x2|=1，∴(x1+2)2-4x1x2=4

∴（2x）²-8y=4即y=

1

2

x2-

1

2

…（12分）

∴P的轨迹方程为y=

1

2

x2-

1

2

，轨迹是一条抛物线       …（13分）