问题
解答题
已知过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点.
(1)求弦AB中点的轨迹方程;
(2)若F为椭圆C的左焦点,求△ABF面积的最大值.
答案
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB中点(x,y),则
∵过点M(1,0)的直线交椭圆C:x2+3y2=6于A,B两点,
∴x12+3y12=6,x22+3y22=6,
两式相减可得2x(x1-x2)+6y(y1-y2)=0,
∴
=-y1-y2 x1-x2
,x 3y
∵弦AB的斜率为
,y x-1
∴
=-y x-1
,x 3y
化简可得弦AB中点轨迹方程为x2+3y2-x=0.
(2)设直线AB方程为x=my+1,代入x2+3y2=6中,化简得(m2+3)y2+2my-5=0,于是y1+y2=
,y1y2=-2m m2+3
.-5 m2+3
又S△ABF=S△AMF+S△BMF=
|AF||y1-y2|,F(-2,0)1 2
∴S2=
(y1-y2)2=9 4
=-27[27(2m2+5) (m2+3)2
-1 (m2+3)2
].2 m2+3
令t=
,则0<t≤1 m2+3
.S2=-27(t2-2t)=-27(t-1)2+27.1 3
∴t=
时,S有最大值,最大值为1 3
.15