问题
解答题
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2B，sinB=
（Ⅰ）求cosA及sinC的值； （Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积． |
答案
（Ⅰ）因为A=2B，所以cosA=cos2B=1-2sin2B．…（2分）
因为sinB=
，所以cosA=1-3 3
=2 3
．…（3分）1 3
由题意可知，B∈(0，
)，所以cosB=π 2
．…（5分）6 3
所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
．…（8分）5 3 9
（Ⅱ）sinA=sin2B=2sinBcosB=2 2 3
因为
=b sinB
，b=2，所以a sinA
=2 3 3
，所以a=a 2 2 3
．…（10分）4 6 3
由cosA=
可知，A∈(0，1 3
)．π 2
过点C作CD⊥AB于D，所以c=acosB+bcosA=
×4 6 3
+2×6 3
=1 3
．…（12分）10 3
所以S△ABC=
absinC=1 2
．…（13分）20 2 9