已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.
(1)求证两圆相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程;
(3)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.
(1)证明:圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0化为标准方程分别为圆C1:(x-1)2+(y+1)2=5与圆C2:x2+(y-1)2=5
∴C1(1,-1)与圆C2(0,1),半径都为5
∴圆心距为
=(1-0)2+(-1-1)2 5
∴两圆相交;
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程,即
(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0
即x-y-1=0
(3)由(2)得y=x-1代入圆C1:x2+y2-4x+2y=0,化简可得2x2-4x-1=0
∴x=2± 6 2
当x=
时,y=2+ 6 2
;当x=6 2
时,y=-2- 6 2 6 2
设所求圆的圆心坐标为(a,b),则
(a-
)2+(b-2+ 6 2
)2=(a-6 2
)2+(b+2- 6 2
)26 2 2a+4b=1
∴a= 3 2 b=- 1 2
∴r2=(
-3 2
)2+(-2+ 6 2
-1 2
)2=6 2 7 2
∴过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为(x-
)2+(y+3 2
)2=1 2 7 2