问题 解答题

已知圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0.

(1)求证两圆相交;

(2)求两圆公共弦所在直线的方程;

(3)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.

答案

(1)证明:圆C1:x2+y2-4x+2y=0与圆C2:x2+y2-2y-4=0化为标准方程分别为圆C1:(x-1)2+(y+1)2=5与圆C2:x2+(y-1)2=5

∴C1(1,-1)与圆C2(0,1),半径都为

5

∴圆心距为

(1-0)2+(-1-1)2
=
5

∴两圆相交;

(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程,即

(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0

即x-y-1=0

(3)由(2)得y=x-1代入圆C1:x2+y2-4x+2y=0,化简可得2x2-4x-1=0

x=

6
2

x=

2+
6
2
时,y=
6
2
;当x=
2-
6
2
时,y=-
6
2

设所求圆的圆心坐标为(a,b),则

(a-
2+
6
2
)
2
+(b-
6
2
)
2
=(a-
2-
6
2
)
2
+(b+
6
2
)
2
2a+4b=1

a=
3
2
b=-
1
2

r2=(

3
2
-
2+
6
2
)2+(-
1
2
-
6
2
)
2
=
7
2

∴过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为(x-

3
2
)2+(y+
1
2
)
2
=
7
2

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