问题
解答题
已知圆C1：x2+y2-4x+2y=0与圆C2：x2+y2-2y-4=0．
（1）求证两圆相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程．
答案
（1）证明：圆C1：x2+y2-4x+2y=0与圆C2：x2+y2-2y-4=0化为标准方程分别为圆C1：（x-1）2+（y+1）2=5与圆C2：x2+（y-1）2=5
∴C1（1，-1）与圆C2（0，1），半径都为5
∴圆心距为
=(1-0)2+(-1-1)2 5
∴两圆相交；
（2）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即
（x2+y2-4x+2y）-（x2+y2-2y-4）=0
即x-y-1=0
（3）由（2）得y=x-1代入圆C1：x2+y2-4x+2y=0，化简可得2x2-4x-1=0
∴x=2± 6 2
当x=
时，y=2+ 6 2
；当x=6 2
时，y=-2- 6 2 6 2
设所求圆的圆心坐标为（a，b），则
(a-
)2+(b-2+ 6 2
)2=(a-6 2
)2+(b+2- 6 2
)26 2 2a+4b=1
∴a= 3 2 b=- 1 2
∴r2=(
-3 2
)2+(-2+ 6 2
-1 2
)2=6 2 7 2
∴过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为(x-
)2+(y+3 2
)2=1 2 7 2
