问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，-
（1）写出C的方程； （2）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时以AB为直径的圆经过原点O？此时|AB|的值是多少？ |
答案
（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中c=
，a=2，3
∴b2=a2-c2=1．
故轨迹C的方程为：x2+
=1；y2 4
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由
，消去y，y=kx+1 x2+
=1y2 4
可得（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx-3=0
△=16k2+48＞0，x1+x2=-
，x1x2=-2k k2+4
，3 k2+4
∵以AB为直径的圆经过原点O，
∴
⊥OA
，OB
∴x1x2+y1y2=0，
∴（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，
∴（k2+1）（-
）+k•（-3 k2+4
）+1=0，2k k2+4
∴k=±
，1 2
∴k=±
时，以AB为直径的圆经过原点O，1 2
|AB|=
•1+ 1 4
=(x1+x2)2-4x1x2
．4 65 17