问题
解答题
已知动点M（x，y）在曲线C上，点M与定点F（1，0）的距离和它到直线m：x=4的距离的比是
（1）求曲线C的方程； （2）点E（-1，0），∠EMF的外角平分线所在直线为l，直线EN垂直于直线l，且交FM的延长线于点N．试求点P（1，8）与点N连线的斜率k的取值范围． |
答案
（1）设点M到直线m：x=4的距离为d，
根据题意，可得
=|MF| d
，1 2
即
=(x-1)2+y2 |x-4|
，化简得1 2
+x2 4
=1．y2 3
∴曲线C的方程是
+x2 4
=1；y2 3
（2）由（1）得曲线C是E（-1，0）、F（1、0）为焦点的双曲线，2a=4．
根据题意，可知|ME|=|MN|，
∵|ME|+|MF|=2a，∴|NF|=|MN|+|MF|=4
∴点N的轨迹是以F（1，0）为圆心，4为半径的圆．
又∵直线PN的方程为：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0．
∴圆心F到直线PN的距离d小于等于半径，可得
≤4，|k+8-k| k2+1
解之得k≤-
或k≥3
，可得斜率k的取值范围是（-∞，-3
]∪[3
，+∞）．3