问题 解答题
已知直线y=-2上有一个动点Q,过Q作直线l垂直于x轴,动点P在直线l上,且
OP
OQ
,记点P的轨迹为C1
(1)求曲线C1的方程;
(2)设直线l与x轴交于点A,且
OB
=
PA
(
OB
≠0)
,试判断直线PB与曲线C1的位置关系,并证明你的结论;
(3)已知圆C2:x2+(y-a)2=2,若C1、C2在交点处的切线相互垂直,求a的值.
答案

(1)设点P的坐标为(x,y),则Q(x,-2),

OP
OQ
OP
OQ
=0
…(2分)

∴x2-2y=0,

当x=0时,P、O、Q三点共线,不符合题意,故x≠0.

∴曲线C的方程为x2=2y(x≠0).

(2)设点P的坐标(x0,y0),∴A(x0,0)∵

OB
=
PA
OB
=(0,-y0)

OB
≠0∴直线PB的斜率k=
2y0
x0
…(5分)

∵x02=2y0∴k=x0∴直线PB的方程为y=x0x-y0…(6分)

代入x2=2y得x2-2x0x+2y0=0,∵△=4x02-8y0=0

∴直线PB与曲线C1相切.…(7分)

(3)不妨设C1、C2的一个交点为N(x1,y1),C1的方程为y=

1
2
x2

则在C1上N点处切线的斜率为y′=x1.C2上过N点的半径的斜率为k=

y1-a
x1

x1=

y1-a
x1

y1=

1
2
x12,得y1=-a,x12=-2a…(10分)

∵N(x1,y1)在圆C2上,∴-2a+4a2=2,∴a=-

1
2
或a=1

∵y1>0∴a<0,∴a=-

1
2
…(12分)

单项选择题 共用题干题
写作题

挚爱与信念

阅读下面这则小故事,根据要求作文。

一位年轻的画师完成了自己名为“爱”的处女作,再三审视,甚觉满意。装裱后在铺有壁纸的墙上钉一枚钉子挂了起来。

若干年后,画师技艺渐精,遂成画家。夏日的一天,旧友来访,看见墙上所挂作品,喜爱至极,便开口讨要。画家念及对方乃至交,于是欣然应允。取下所挂之画,但觉钉子下面有一个小突起。画家颇好奇,掀起壁纸一角窥视,眼前的情景着实令人惊叹不已:略呈三角形的小脑袋,暗绿色扁平的身体,短小的四肢,趾上的吸盘牢牢地攀附着墙壁。令人惊讶的是,它那圆锥形的尾巴上,那枚已呈锈色的铁钉不偏不倚地从中间穿过——几年前的钉子钉透了小壁虎的尾巴,它不动却仍然活着。壁虎为什么不挣断尾巴逃跑呢?它没有逃跑,何以维系生命至今?一连串问号从两人心头冒出来。

据资料显示,壁虎的尾巴上储存着丰富的脂肪,一旦失去它,壁虎就不得不在体内搜寻必要的物质来修复其受伤的身体和重新长出尾巴。但失去尾巴将降低它在壁虎群中的统治力,致使它失去以往的领地,失去吃食和繁殖的机会,从而也就缩短了它的寿命。因此,人们熟知的自断其尾的做法是壁虎在受到攻击时,当一切防卫都无效后,不得已而采取的最后一招。以此观之,这条小生命还没到这种山穷水尽的地步,这中间究竟隐藏着怎样的秘密呢?他们当下决定躲在暗处观察。

不多日,他们便发现,每至深夜,便有另一只壁虎迤逦到来,将捕到的蚊蝇一口口送到它的嘴边……

终于,当钉子从墙上起出的刹那,那小生灵如获重释地逃遁得无影无踪。

[要求]根据上述故事,以“挚爱与信念”为话题,写一篇不少于800字的文章。①角度自选。②文体不限。③题目自拟。