已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l

问题解答题

已知直线y=-2上有一个动点Q，过Q作直线l垂直于x轴，动点P在直线l上，且

⊥

，记点P的轨迹为C₁，
（1）求曲线C₁的方程；
（2）设直线l与x轴交于点A，且

(

≠0)，试判断直线PB与曲线C₁的位置关系，并证明你的结论；
（3）已知圆C₂：x²+（y-a）²=2，若C₁、C₂在交点处的切线相互垂直，求a的值．

答案

（1）设点P的坐标为（x，y），则Q（x，-2），

∵

⊥

∴

•

=0…（2分）

∴x²-2y=0，

当x=0时，P、O、Q三点共线，不符合题意，故x≠0．

∴曲线C的方程为x²=2y（x≠0）．

（2）设点P的坐标（x₀，y₀），∴A（x₀，0）∵

∴

=(0，-y0)

∵

≠0∴直线PB的斜率k=

2y0

…（5分）

∵x₀²=2y₀∴k=x₀∴直线PB的方程为y=x₀x-y₀…（6分）

代入x²=2y得x²-2x₀x+2y₀=0，∵△=4x₀²-8y₀=0

∴直线PB与曲线C₁相切．…（7分）

（3）不妨设C₁、C₂的一个交点为N（x₁，y₁），C₁的方程为y=

则在C₁上N点处切线的斜率为y′=x₁．C₂上过N点的半径的斜率为k=

y1-a

x1=

y1-a

，

又y1=

x12，得y₁=-a，x₁²=-2a…（10分）

∵N（x₁，y₁）在圆C₂上，∴-2a+4a²=2，∴a=-

或a=1

∵y₁＞0∴a＜0，∴a=-

…（12分）