已知△ABC的顶点分别为A（0，0），B（95m，125m），C（c，0），其中

问题解答题

已知△ABC的顶点分别为A（0，0），B（

m，

m），C（c，0），其中c＞0
（1）若c=5，m=1，P是△ABC（含边界）内一点，P到三边 AB、BC、AC的距离分别为x，y和z，求x+y+z的取值范围；
（2）若m≠0，BC=5，求△ABC周长的最大值．

答案

（1）AB=3，Ac=5，BC=4；△ABC 是直角三角形 …（2分）

2S_△ABC=3x+4y+5z=12⇒x+y+z=

(2x+y) …（4分）

设t=2x+y，因为P是△ABC（含边界）内一点，P到三边 AB、BC、AC的距离分别为x，y和z，

所以

3x+4y≤12

x≥0

y≥0

由线性规划得0≤t≤8

∴

≤x+y+z≤4 …（8分）

注：3x+3y+3z≤3x+4y+5z≤5x+5y+5z得到

≤x+y+z≤4可得（5分），若给出了等号成立条件可全分．

（2）当m＞0时

由B（

m，

m），得tanA=

，∴cosA=

； …（10分）

△ABC中，由余弦定理有：

25=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-

bc≥

（b+c）²；当且仅当b=c时取等号，所以b+c≤5

所以，三角形的周长最大值为5+5

…（14分）

当m＜0时，∠BAC为钝角，AB＜BC，AC＜BC，AB+BC+AC＜15＜5+5

综上所述，△ABC周长的最大值为5+5

． …（16分）