问题
解答题
| 已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称． （Ⅰ）求⊙C的方程； （Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求
（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由． |
答案
（Ⅰ）设圆心C（a，b），则
，解得
+a-2 2
+2=0b-2 2
=1b+2 a+2
（3分）a=0 b=0
则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，
故圆C的方程为x2+y2=2（5分）
（Ⅱ）设Q（x，y），则x2+y2=2，
•PQ
=(x-1，y-1)•(x+2，y+2)（7分）MQ
=x2+y2+x+y-4=x+y-2，令x=
cosθ，y=2
sinθ，2
∴
•PQ
=MQ
cosθ+2
sinθ-2=2sin（θ+2
）-2，∴（θ+π 4
）=2kπ-π 4
时，2sin（θ+π 2
）=-2，π 4
所以
•PQ
的最小值为-2-2=-4． （10分）MQ
（Ⅲ）由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：y-1=k（x-1），PB：y-1=-k（x-1），由
，y-1=k(x-1) x2+y2=2
得（1+k2）x2+2k（1-k）x+（1-k）2-2=0（11分）
因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解，故可得xA=
（13分）k2-2k-1 1+k2
同理，xB=
，所以kAB=k2+2k-1 1+k2
=yB-yA xB-xA
=-k(xB-1)-k(xA-1) xB-xA
=1=kOP ，2k-k(xB+xA) xB-xA
所以，直线AB和OP一定平行（15分）