问题 解答题

已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边,ccosA=b

(I)求角C的大小,

(II)求sinA+sinB的取值范围.

答案

(I)由正弦定理

c
sinC
=
b
sinB
=2R得:c=2RsinC,b=2RsinB,

∴ccosA=b变形为:2RsinCcosA=2RsinB,即sinCcosA=sinB,

又sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),

∴sinCcosA=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

即sinAcosC=0,

又A和C为三角形的内角,

∴A≠0,即sinA≠0,

∴cosC=0,

则C=

π
2

(II)∵C=

π
2
,∴A+B=
π
2

∴B=

π
2
-A,

则sinA+sinB

=sinA+sin(

π
2
-A)

=sinA+cosA

=

2
sin(A+
π
4
),

∵A∈(0,

π
2
),∴A+
π
4
∈(
π
4
4
),

∴sin(A+

π
4
)∈(
2
2
,1],

2
sin(A+
π
4
)∈(1,
2
],即sinA+sinB∈(1,
2
].

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