问题
解答题
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.
答案
B=
，△ABC是等边三角形
方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0,
∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.
∴4cos2B-8cosB+3=0,
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=
或cosB=
（舍去）.∴cosB=.
∵0＜B＜
,∴B=.
∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b.
∴cosB=
=
=，
化简得a2+c2-2ac=0,解得a=c.
又∵B=，∴△ABC是等边三角形.
方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0，
∴2（2cos2B-1）-8cosB+5=0.
∴4cos2B-8cosB+3=0，
即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.
解得cosB=或cosB=（舍去）.
∴cosB=,∵0＜B＜,∴B=,
∵a,b,c成等差数列，∴a+c=2b.
由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin=
.
∴sinA+sin
=，
∴sinA+sin
-cos
=.
化简得sinA+
cosA=,∴sin
=1.
∴A+
=
,∴A=,
∴C=,∴△ABC为等边三角形.