动圆P与定圆O1：x2+y2+4x-5=0和O2：x2+y2-4x+3=0均外切

问题解答题

动圆P与定圆O₁：x²+y²+4x-5=0和O₂：x²+y²-4x+3=0均外切，设P点的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点A（3，0）作直线l交曲线C于P、Q两点，交y轴于M点，若

=λ1

=λ2

当λ₁+λ₂=m时，求m的取值范围．

答案

（1）Q₁：（x+2）²+y²=9，Q₂：（x-2）²+y²=1，

动圆的半径为r，则|PQ₁|=r+3，

|PQ₂|=r+1，|PQ₁|-|PQ₂|=2，…（3分）

点P的轨迹是以O₁、O₂为焦点的双曲线右支，

a=1，c=2，

方程为x2-

=1，(x＞0)…（6分）

（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），

当k不存在时，不合题意．

直线PQ的方程为y=k（x-3），

则M(0，-3k)，

=(3，3k)，

=(x1，y1+3k)，

=(x2，y2+3k)，由

=λ1

=λ2

得

3=λ1x1

3=λ2x2

…（8分）

由

y=k(x-3)

x2-

得(3-k2)x2+6k2x-3-9k2=0∵x₁、x2是此方程的两正根，x1+x2=

6k2

k2-3

＞0，x1x2=

9k2+3

k2-3

＞0，

∴k²＞3…（10分）

m=λ1+λ2=

3(x1+x2)

x1x2

6k2

3k2+1

=2-

3k2+1

∈(

，2)…（14分）