问题
单项选择题
下列结论正确的是( )
A．若A，B特征值相同，则A～B
B．矩阵A的秩与其非零特征值个数相等
C．若A，B特征值相同，则A，B等价
D．A，B的特征值相同且A，B都可对角化，则A～B
答案
参考答案：D
解析：[*]，因为|λE-A|=|λE-B|=λ2(λ-1)，所以A，B特征值相同，但r(A)=2≠r(B)=1，故A，B不相似，(A)不正确；
[*]，显然λ1=λ2=0，λ3=1．而r(A)=2，所以(B)不正确；
由(A)，A，B特征值相同，A，B的秩不一定相等，故(C)不正确；
设A，B的特征值相同且A，B都可对角化，令其特征值为λ1，λ2，…，λn，因为A，B都可对角化，
所以存在可逆阵P1，P2，使得[*]，从而有[*]，于是[*]，则P-1AP=B，即A～B，选(D)．
