已知定圆Q:x2+y2-2x-15=0,动圆M和已知圆内切,且过点P(-1,0),
(1)求圆心M的轨迹及其方程;
(2)试确定m的范围,使得所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线l:y=4x+m对称.
解 (1)已知圆可化为(x-1)2+y2=16,设动圆圆心M(x,y),则|MP|为半径,又圆M和圆Q内切,即|MP|+|MQ|=4,故M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,且PQ中心为原点,故动圆圆心M的轨迹方程是
+x2 4
=1y2 3
(2)假设具有对称关系的两点所在直线l′的方程为y=-
x+n,代入椭圆方程中有3x2+4(-1 4
x+n)2-12=0,即13x2-8nx+16n2-48=0.1 4
若要椭圆上关于直线l对称得不同两点存在,则需l′与椭圆相交,且两交点P、Q到直线l的距离相等,即线段PQ的中点M在直线l上,
故△=64n2-4×13×(16n2-48)>0,∴-
<n<13 2
.13 2
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=
,y1+y2=-8n 13
(x1+x2)+2n=1 4
n,∴24 13
=4×12n 13
+m,4n 13
故m=-
,∴n=-4n 13
,13m 4
∴-
<-13 2
<13m 4
,13 2
即-
<m<2 13 13
.2 13 13