问题 解答题

已知定圆Q:x2+y2-2x-15=0,动圆M和已知圆内切,且过点P(-1,0),

(1)求圆心M的轨迹及其方程;

(2)试确定m的范围,使得所求方程的曲线C上有两个不同的点关于直线l:y=4x+m对称.

答案

解 (1)已知圆可化为(x-1)2+y2=16,设动圆圆心M(x,y),则|MP|为半径,又圆M和圆Q内切,即|MP|+|MQ|=4,故M的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,且PQ中心为原点,故动圆圆心M的轨迹方程是

x2
4
+
y2
3
=1

(2)假设具有对称关系的两点所在直线l′的方程为y=-

1
4
x+n,代入椭圆方程中有3x2+4(-
1
4
x+n)2-12=0
,即13x2-8nx+16n2-48=0.

若要椭圆上关于直线l对称得不同两点存在,则需l′与椭圆相交,且两交点P、Q到直线l的距离相等,即线段PQ的中点M在直线l上,

故△=64n2-4×13×(16n2-48)>0,∴-

13
2
<n<
13
2

设P(x1,y1),Q(x2,y2),

x1+x2=

8n
13
y1+y2=-
1
4
(x1+x2)+2n=
24
13
n
,∴
12n
13
=4×
4n
13
+m

m=-

4n
13
,∴n=-
13m
4

-

13
2
<-
13m
4
13
2

-

2
13
13
<m<
2
13
13

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