问题
解答题
已知函数f(x)=x2-(a2-a)x-2
(1)若当x∈[1,3]时,f(x)为单调函数,求a的取值范围;
(2)求函数f(x)在[2,4]上的最大值g(a);
(3)求g(a)的最大值.
答案
(1)∵函数f(x)=x2-(a2-a)x-2的图象是开口方向朝上,以x=
为对称轴的抛物线a2-a 2
若当x∈[1,3]时,f(x)为单调函数,
则
≤1,或a2-a 2
≥3a2-a 2
解得a≤-2,或-1≤a≤2,或a≥3
故a的取值范围为(-∞,-2]∪[-1,2]∪[3,+∞)
(2)当
≥3,即a≤-2,或a≥3时,f(x)在[2,4]上的最大值g(a)=f(2)=-2(a2-a)+2;a2-a 2
当
<3,即-2<a<3时,f(x)在[2,4]上的最大值g(a)=f(4)=-4(a2-a)+14;a2-a 2
故g(a)=-2a2+2a+2,a≤-2,或a≥3 -4a2+4a+14,-2<a<3
(3)由(2)得当a≤-2,或a≥3时时,g(a)的最大值为-10
当-2<a<3时g(a)的最大值为15
故g(a)的最大值为15