问题 解答题

已知函数f(x)=x2-(a2-a)x-2

(1)若当x∈[1,3]时,f(x)为单调函数,求a的取值范围;

(2)求函数f(x)在[2,4]上的最大值g(a);

(3)求g(a)的最大值.

答案

(1)∵函数f(x)=x2-(a2-a)x-2的图象是开口方向朝上,以x=

a2-a
2
为对称轴的抛物线

若当x∈[1,3]时,f(x)为单调函数,

a2-a
2
≤1,或
a2-a
2
≥3

解得a≤-2,或-1≤a≤2,或a≥3

故a的取值范围为(-∞,-2]∪[-1,2]∪[3,+∞)

(2)当

a2-a
2
≥3,即a≤-2,或a≥3时,f(x)在[2,4]上的最大值g(a)=f(2)=-2(a2-a)+2;

a2-a
2
<3,即-2<a<3时,f(x)在[2,4]上的最大值g(a)=f(4)=-4(a2-a)+14;

故g(a)=

-2a2+2a+2,a≤-2,或a≥3
-4a2+4a+14,-2<a<3

(3)由(2)得当a≤-2,或a≥3时时,g(a)的最大值为-10

当-2<a<3时g(a)的最大值为15

故g(a)的最大值为15

单项选择题
单项选择题 A3/A4型题