（Ⅰ）x²+y²-10x+m²-2m+17=0（m∈R）可以化成（x-5）²+y²=-（m-1）²+9，

设⊙O₂半径为r，则r²=-（m-1）²+9≤9，∴r≤3，

所以⊙O₂半径的最大值为3．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知当⊙O₂半径最大时，⊙O₁和⊙O₂是半径为3的等圆，O₂（5，0），

又∵⊙O1：(x-1)2+y2=9，∴O₁（1，0），∴|O₁O₂|=4．

∴⊙O₁和⊙O₂相交．

（Ⅲ）（1）由（Ⅰ）知，⊙O₂半径最大时的方程为（x-5）²+y²=9，它与⊙O1：(x-1)2+y2=9相交，将两方程相减得公共弦所在直线l₁的方程为：x=3．

（2）由（1）知F（3，0），∵抛物线C以F（3，0）为焦点，以原点O为顶点，∴C：y²=12x．

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由y=k（x-3）（k≠0）得：x=

y

k

+3，将它代入y²=12x化简得：ky²-12y-36k=0，

∴y₁y₂=-36．∴x1x2=

y 21

12

•

y 22

12

=

(y1y2)2

12×12

=9，

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-27，即

OA

•

OB

为定值．