问题
解答题
设函数f（x）的定义域为R，对任意x1，x2有f(x1)+f(x2)=2f(
（1）求f（0）的值； （2）求证：f（x）是偶函数，且f（π-x）+f（x）=0； （3）若-
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答案
（1）令x1=x2=π，可得2f（π）=2f（π）f（0），
∵f（π）=-1，
∴得f（0）=1．
（2）令x1=x，x2=-x，可得f（x）+f（-x）=2f（x）•f（0）
∵f（0）=1∴f（x）=f（-x）
∴f（x）是偶函数；
令x1=π，x2=0，可得f(π)+f(0)=2f(
)f(π 2
)π 2
又∵f（0）=1，f（π）=-1∴f（0）+f（π）=0
∴得f(
)=0π 2
令x1=x， x2=π-x，可得f(x)+f(π-x)=2f(
)f(π 2
)=02x-π 2
∴f（π-x）+f（x）=0．
（3）任取x1，x2∈（0，π），且x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(π-x2)=2f(
)•f(x1-x2+π 2
)x1+x2-π 2
∵x1，x2∈（0，π）∴0＜
＜x1-x2+π 2
，-π 2
＜π 2
＜x1+x2-π 2 π 2
由题意知-
＜x＜π 2
时，f（x）＞0，π 2
∴f(
)＞0且f(x1-x2+π 2
)＞0x 1+ x2-π 2
故f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x）在（0，π）上单调递减．