某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;
(3)是否存在v,使得小艇以v海里/时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.
(1) 小艇以30
海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小
(2) 10
海里/时 (3)存在，v的取值范围是(15,30)
解:(1)法一 设相遇时小艇的航行距离为s海里,则
s=
=
=
.
故当t=
时,smin=10,v=
=30.
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
法二 若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.
如图所示,设小艇与轮船在C处相遇.
在Rt△OAC中,OC="20cos" 30°=10,
AC="20sin" 30°=10.
又AC=30t,OC=vt,
此时,轮船航行时间t=
=,v==30.
即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.
由题意可得
(vt)2=202+(30t)2-2×20×30t×cos(90°-30°),
化简得v2=
-
+900
=400(
-
)2+675.
由于0<t≤
,即≥2,
所以当=2时,v取得最小值10,
即小艇航行速度的最小值为10海里/时.
(3)由(2)知v2=-+900,
设=u(u>0),于是400u2-600u+900-v2=0.(*)
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即
解得15<v<30.
所以v的取值范围是(15,30).