（1）函数的定义域为R，

f（-x）+f（x）=

a-x-1

a-x+1

+

ax-1

ax+1

=

(ax-1)(a-x+1)+(a-x-1)(ax+1)

(ax+1)(a-x+1)

=0

∴函数f（x）为奇函数  

 （2）∵f（x）=

ax-1

ax+1

=1-

2

ax+1

   （a＞1）

设t=a^x，则t＞0，y=1-

2

t+1

的值域为（-1，1）

∴该函数的值域为（-1，1）

（3）证明：法一：∵f′（x）=

2axlna

(ax+1)2

＞0

∴f（x）是R上的增函数

法二：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂

则f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

ax1+1

-

ax2-1

ax2+1

=

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂

∴ax1-ax2＜0，ax1+1＞0，ax2+1＞0，

∴

2(ax1-ax2)

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）

∴f（x）是R上的增函数