问题
单项选择题
已知函数f(x)在区间(1-δ，1+δ)内具有二阶导数，f"(x)＜0，且f(1)=f'(1)=1，则______．
A．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x
B．在(1-δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x
C．在(1-δ，1)内f(x)＜x在(1，1+δ)内，f(x)＞x
D．在(1-δ，1)内f(x)＞x，在(1，1+δ)内f(x)＜x
答案
参考答案：A
解析：[考点提示] 函数单调性的判定．
[解题分析] 设φ(x)=f(x)-x，则φ'(x)=f'(x)-1，φ"(x)=f"(x)．
由f"(x)＜0．得φ"(x)＜0，故φ'(x)单调减少．则当x＜1时，φ'(x)＞φ'(1)=f'(1)-1=0；当x＞1，时φ'(x)＜φ'(1)=0，则φ(x)在x=1处取得极大值．当x∈(1-δ，1)∪(1，1+δ)时，φ(x)＜φ(1)=f(1)-1=0，即f(x)＜x．