（1）∵a＞0，f(x)=

2x

a

+

a

2x

是R上的偶函数．

∴f（-x）=f（x），即

2-x

a

+

a

2-x

=

2x

a

+

a

2x

，

∴

1

a•2x

+a•2^x=

2x

a

+

a

2x

，

2^x（a-

1

a

）+

1

2x

（a-

1

a

）=0，

∴（a-

1

a

）（2^x+

1

2x

）=0，∵2^x+

1

2x

＞0，a＞0，

∴a-

1

a

=0，解得a=1，或a=-1（舍去），

∴a=1；

（2）证明：由（1）可知f(x)=2x+

1

2x

，

∴f′(x)=2xln2-

2xln2

22x

=2xln2(1-

1

22x

)=2xln2(

22x-1

22x

)

∵x＞0，

∴2^2x＞1，

∴f'（x）＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；