问题
解答题
已知a∈R，函数f （x）=-
（Ⅰ）当a=1时，求函数f （x）的单调递增区间； （Ⅱ）函数f （x）能否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围；若不能，请说明理由； （Ⅲ）若函数f （x）在[-1，1]上单调递增，求a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=-
x3+1 3
x2+2x，1 2
∴f'（x）=-x2+x+2，（2分）
令f'（x）＞0，即-x2+x+2＞0，解得-1＜x＜2，
∴函数f（x）的单调递增区间是（-1，2）；（5分）
（Ⅱ）若函数f（x）在R上单调递减，则f'（x）≤0对x∈R都成立，
即-x2+ax+2a≤0对x∈R都成立，即x2-ax-2a≥0对x∈R都成立．（7分）
∴△=a2+8a≤0，解得-8≤a≤0．
∴当-8≤a≤0时，函数f（x）能在R上单调递减；（10分）
（Ⅲ）∵函数f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]都成立，∴-x2+ax+2a≥0对x∈[-1，1]都成立．
∴a（x+2）≥x2对x∈[-1，1]都成立，即a≥
对x∈[-1，1]都成立．（12分）x2 x+2
令g（x）=
，则g'（x）=x2 x+2
=2x(x+2)-x2 (x+2)2
．x(x+4) (x+2)2
当-1≤x＜0时，g'（x）＜0；当0≤x＜1时，g'（x）＞0．
∴g（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增．
∵g（-1）=1，g（1）=
，∴g（x）在[-1，1]上的最大值是g（-1）=1，∴a≥1．（15分）1 3