问题 解答题
已知a∈R,函数f (x)=-
1
3
x3+
1
2
ax2+2ax (x∈R).
(Ⅰ)当a=1时,求函数f (x)的单调递增区间;
(Ⅱ)函数f (x)能否在R上单调递减,若是,求出a的取值范围;若不能,请说明理由;
(Ⅲ)若函数f (x)在[-1,1]上单调递增,求a的取值范围.
答案

(Ⅰ)当a=1时,f(x)=-

1
3
x3+
1
2
x2+2x,

∴f'(x)=-x2+x+2,(2分)

令f'(x)>0,即-x2+x+2>0,解得-1<x<2,

∴函数f(x)的单调递增区间是(-1,2);(5分)

(Ⅱ)若函数f(x)在R上单调递减,则f'(x)≤0对x∈R都成立,

即-x2+ax+2a≤0对x∈R都成立,即x2-ax-2a≥0对x∈R都成立.(7分)

∴△=a2+8a≤0,解得-8≤a≤0.

∴当-8≤a≤0时,函数f(x)能在R上单调递减;(10分)

(Ⅲ)∵函数f(x)在[-1,1]上单调递增,

∴f'(x)≥0对x∈[-1,1]都成立,∴-x2+ax+2a≥0对x∈[-1,1]都成立.

∴a(x+2)≥x2对x∈[-1,1]都成立,即a≥

x2
x+2
对x∈[-1,1]都成立.(12分)

令g(x)=

x2
x+2
,则g'(x)=
2x(x+2)-x2
(x+2)2
=
x(x+4)
(x+2)2

当-1≤x<0时,g'(x)<0;当0≤x<1时,g'(x)>0.

∴g(x)在[-1,0]上单调递减,在[0,1]上单调递增.

∵g(-1)=1,g(1)=

1
3
,∴g(x)在[-1,1]上的最大值是g(-1)=1,∴a≥1.(15分)

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