问题
解答题
已知函数f(x)=a-
（Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）试判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论； （Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t2-（m-2）t）+f（t2-m-1）＜0恒成立，求实数m的取值范围． |
答案
（Ⅰ）由题意可得：f（x）=a2x+a-2 2x+1
∵f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x）
即
=-a2-x+a-2 2-x+1 a2x+a-2 2x+1
=-a+(a-2)2x 2x+1 a2x+a-2 2x+1
∴a-2=a，即a=1（4分）
即f(x)=1-2 2x+1
（Ⅱ）设x1，x2为区间（-∞，+∞）内的任意两个值，且x1＜x2，
则0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∵f（x1）-f（x2）=
-2 2x2+1
=2 2x1+1
＜02(2x1-2x2) (2x1+1)(2x2+1)
即f（x1）＜f（x2）∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，且是奇函数．
∵f（t2-（m-2）t）+f（t2-m-1）＜0
∴f（t2-（m-2）t）＜-f（t2-m-1）=f（-t2+m+1）
∴t2-（m-2）t＜-t2+m+1（13分）
即2t2-（m-2）t-（m+1）＜0对任意t∈R恒成立．
只需△=（m-2）2+4×2（m+1）=m2+4m+12＜0，
解之得m∈∅（16分）