问题
单项选择题
设A，B是n阶实对称可逆矩阵，则存在n阶可逆阵P，使得下列关系式
①PA=B． ②P-1ABP=BA． ③P-1AP=B． ④PTA2P=B2．
成立的个数是 ( )．
A．1．
B．2．
C．3．
D．4．
答案
参考答案：C
解析：[分析] 逐个分析关系式是否成立．
①A，B均是n阶可逆矩阵，故存在可逆阵Q，W，使QA=E，WB=E(可逆阵可通过初等行变换化为单位阵)，故有QA=WB，W-1QA=B．记W-1Q=P．则有PA=B成立．故(1)式成立．
②A，B均是n阶可逆矩阵，可取P=A，则有A-1(AB)A=(A-1A)BA=BA．故(2)式成立．
③A，B均是n阶实对称矩阵，它们均可以相似于对角阵，但不一定相似于同一个对角阵，即A，B之间不一定相似．例如[*](均满足题设的实对称可逆阵的要求)，但对任意可逆阵P，均有P-1AP=P-1EP=E≠B．故(3)不成立．
④A，B均是实对称可逆矩阵，其特征值均不为零，A2，B2的特征值均大于零．故A2，B2的正惯性指数为n(秩为n，负惯性指数为0)，故A2[*]B2，即存在可逆阵P，使得PTA2P=B2，故(4)式成立．
由上分析，知应选(C)．
[评注] 由本题可知，两个同阶可逆阵A，B必是等价的(由①知)，且其积AB，BA必是相似的(由②知)，但A，B不一定相似(由③知)，但两个实对称可逆阵A，B，其平方A2与B2一定是合同的(由④知)。