（1）∵f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

，要使f（x）为单调增函数，须f’（x）≥0恒成立，

即px²-2x+p≥0恒成立，即p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立，又

2

x+ 1 x

≤1，

所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．

要使f（x）为单调减函数，须f’（x）≤0恒成立，即px²-2x+p≤0恒成立，即p≤

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立，又

2

x+ 1 x

＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．

综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0

（2）∵f′(x)=

px2-2x+p

x2

，，∴f’（1）=2（p-1），设直线l：y=2（p-1）（x-1），

∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p-1）（x-1）得（p-1）（x-1）=

e

x

，即（p-1）x²-（p-1）x-e=0

y=

2e

x

当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p-1）²-4（p-1）（-e）=0，得p=1-4e，综上，p=1-4e

（3）因g（x）=

2e

x

在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]

①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）^max=f（1）=0＜2，不合题意

②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，

故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，

即：f（e）=p（e-

1

e

）-2lne＞2⇒p＞

4e

e2-1

③当0＜p＜1时，因x-

1

x

≥0，x∈[1，e]

所以f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx≤（x-

1

x

）-2lnx≤e-

1

e

-2lne＜2不合题意

综上，p的取值范围为（

4e

e2-1

，+∞）