（1）当a=0时，f（x）=x²

对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）²=x²=f（x），

∴f（x）为偶函数．

当a≠0时，f（x）=x²+

a

x

（x≠0，常数a∈R），

取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，

f（-1）-f（1）=-2a≠0，

∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）．

∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（2）设2≤x₁＜x₂，

f（x₁）-f（x₂）=x21+

a

x1

-x22-

a

x2

=

(x1-x2)

x1x2

[x₁x₂（x₁+x₂）-a]，

要使函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，

必须f（x₁）-f（x₂）＜0恒成立．

∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，

即a＜x₁x₂（x₁+x₂）恒成立．

又∵x₁+x₂＞4，∴x₁x₂（x₁+x₂）＞16，

∴a的取值范围是（-∞，16]．