问题
解答题
设f（x）的定义域为（0，+∞），对于任意正实数m，n恒有f（m•n）=f（m）+f（n），且当x＞1时，f(x)＞0，f(
（1）求f（2）的值； （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数； （3）解关于x的不等式f(x)≥2+f(
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答案
（1）对于任意正实数m，n；恒有f（mn）=f（m）+f（n）
令m=n=1，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，
又∵f(
)=-11 2
再令m=2，n=
，得f(1)=f(2×1 2
)=f(2)+f(1 2
)1 2
∵f(
)=-1∴f(2)=11 2
（2）令0＜x1＜x2，则
＞1x 2 x 1
∵当x＞0时，f(x)＞0∴f(
)＞0x 2 x 1
∵f(mn)=f(m)+f(n) ∴f(x2)-f(x1)=f(x1•
)-f(x1)x2 x1
=f(x1)+f(
)--f(x1)=f(x2 x1
)＞0x2 x1
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（mn）=f（m）+f（n）f（2）=1
∴f（4）=2f（2）=2
2+f(
)=f(4)+f(3 x-4
)=f(3 x-4
)12 x-4
∴原不等式可化为f(x)≥f(
)，又∵f（x）在区间（0，+∞）上是增函数12 x-4
∴
∴x≥ 12 x-4 x＞0
＞012 x-4 -2≤x＜4或x≥6 x＞0 x＞4
∴x≥6