问题
解答题
| 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为实数a不为零），且同时满足下列条件： （1）f（-1）=0； （2）对于任意的实数x，都有f（x）-x≥0； （3）当x∈（0，2）时有f(x)≤(
①求f（1）； ②求a，b，c的值； ③当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围． |
答案
（1）当x=1时，由 f（1）-1≥0，且f(1)≤(
)2=1，∴f（1）=1．1+1 2
（2）设二次函数为f（x）=ax2+bx+c，由f（-1）=0可得a-b+c=0，
而f（1）=1，∴a+b+c=1，解得b=
，a+c=1 2
．1 2
又f（x）-x≥0，∴ax2+bx+c-x≥0，化简得 ax2+（b-1）x+c≥0，
∴a＞0且（b-1）2-4ac≤0，把 b=
，a+c =1 2
，代入化简可得 (a-1 2
)2 ≤ 0，1 4
∴a=
，c=1 4
．1 4
（3）由上可得 f（x）=
x2+1 4
x+1 2
，∴g(x)=f(x)-mx=1 4
x2+1 4
x+1 2
-mx=1 4
x2+(1 4
-m)x+1 2
，1 4
因为函数g（x）在[-1，1]上单调可知，-
≤-1，或-
-m1 2 2× 1 4
≥1，
-m1 2 2× 1 4
解得m≤0，或m≥1．故m的取值范围是{m|m≤0，或m≥1}．