解：已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上。

证明：∵四边形ABCD是菱形

∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA

M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点

∴OM=ON=OP=OQ=AB

∴根据圆的定义可知：M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上。