问题
选择题
设函数f(x)的定义域为R,如果存在函数g(x)=ax(a为常数),使得f(x)≥g(x)对于一切实数x都成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.已知g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,那么实数a的取值范围是( )
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答案
令h(x)=ex-ax,则h′(x)=ex-a,
由题意,a=0时,结论成立;
a≠0时,令h′(x)=ex-a=0,则x=lna
∴函数h(x)在(-∞,lna)上为减函数,在(lna,+∞)上为增函数
∴x=lna时,函数取得最小值a-alna
∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,
∴a-alna≥0
∴lna≤1
∴0<a≤e
综上,0≤a≤e,
故选D.