问题
解答题
已知f（x）=x|x-a|+2x-3．
（Ⅰ）当a=4，2≤x≤5时，问x分别取何值时，函数f（x）取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x）在R上恒为增函数，试求a的取值范围．
答案
（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3．
（1）2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-（x-3）2+6，
当x=2时，f（x）min=5；当x=3时，f（x）max=6．
（2）当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=（x-1）2-4
当x=4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12．
综上所述，当x=2或4时，f（x）min=5；当x=5时，f（x）max=12．
（Ⅱ）f(x)=
=x2+(2-a)x-3，x≥a -x2+(2+a)x-3，x＜a
，(x-
)2-a-2 2
-3，x≥a(a-2)2 4 -(x-
)2+a+2 2
-3，x＜a(a+2)2 4
f（x）在R上恒为增函数的充要条件是
，解得-2≤a≤2．
≤aa-2 2
≥aa+2 2