解：（1）若对角线AC=12cm，如图甲所示．

∵四边形ABCD是菱形

∴∠DAC=∠BAC=∠DAB

∴AB=BC=CD=AD，AD∥BC

∴∠DAC=∠ACB，∠DAB+∠B=180°

∵∠DAB=120°

∴∠DAC=∠BAC=∠ACB=∠B=60°

∴△ABC为等边三角形

∴AB=AC=AC=12cm

即菱形ABCD的边长为12cm；

（2）若对角线BD=12cm，如图乙所示．

连接AC，交BD于点O．

∵四边形ABCD是菱形

∴AC∥BD，AB∥CD，

AD=CD=AB=BC，∠BAO=∠DAO=∠DAB，

OA=AC，OD=BD

∴∠DAB+∠ADC=180°，∠BAO=∠DCA，OD=6cm

∵∠DAB=120°

∴∠ADC=∠BAO=∠DAO=∠DCA=60°

∴△ADC为等边三角形

∴AC=AD

∴OA=AD

设OA=x，则AD=2x

∵AC⊥BD

∴AD²=AO²+OD²即（2x）²=x²+6²

∴x=2

∴AD=2×2=4（cm）

∴AD=CD=AB=BC=4cm

即菱形的边长为4cm．

综上所述，菱形的边长为12cm或4cm．