问题
单项选择题
设f(x)满足f"(x)+(1-cosx)f'(x)+xf(x)=sinx，且f(0)=2．则 ( )．
A．x=0是f(x)的极小值点．
B．x=0是f(x)的极大值点．
C．曲线y=f(x)在点(0，f(0))左侧邻近是凹的，右侧邻近是凸的．
D．曲线y=f(x)在点(0，f(0))左侧邻近是凸的，右侧邻近是凹的．
答案
参考答案：C
解析：[分析] 由所给f"(x)+(1-cosx)f'(x)+xf(x)=sinx，有f"(0)=0，
f"'(x)+sinx·f'(x)+(1-cosx)f"(x)+xf'(x)+f(x)=cosx，
于是 f"'(0)=1-f(0)=-1＜0，
即有 [*]
而f"(0)=0，所以
[*]
于是存在x=0的某去心邻域U，当x∈U且x＜0时，f"(x)＞0，曲线y=f(x)凹；
当x∈U且x＞0时f"(x)＜0，曲线凸．选(C)．
[注1] 为什么不选(A)与(B)，理由如下：若f'(0)≠0，当然不选(A)与(B)．若f'(0)=0，由
[*]
故当|x|充分小且x≠0时f'(x)＜0，所以在x=0的左、右邻域f(x)均严格单调减，故不选(A)与(B)．
[注2] 下述条件可推出同样结论，
①设f(x)在x=0处存在三阶导数，且[*]；或②设f(x)在x=0的某领域内存在二阶导数，且[*]．