问题
填空题
已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，则正数a的范围______．
答案
∵f（x）=x2（ax-3）=ax3-3x2，∴f'（x）=3ax2-6x，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=ax3+（3a-3）x2-6x
∴g'（x）=f'（x）=3ax2+6（a-1）x-6，
令g'（x）=0，方程的另个根为x1，2=
，因为a是正数，所以x1x2=1-a± a2+1 a
=--6 3a
＜0，2 a
即
＜0，1-a- a2+1 a
＞01-a+ a2+1 a
又g（0）=0，g（2）=20a-24，
当0＜
≤2时，a≥1-a+ a2+1 a
，由于g（x）在区间[0，2]先减后增，3 4
当g（0）=0≥g（2）=20a-24时，a≤6 5
∴
≤a≤3 4 6 5
当
＞2即a＜1-a+ a2+1 a
时，由于g（x）在区间[0，2]减，3 4
显然有g（0）=0＞g（2）=20a-24成立，解得a＜6 5
∴a＜3 4
综上所述，0＜a≤6 5
故答案为：0＜a≤6 5