已知函数f（x）=ax+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），其反函数f-

问题解答题

已知函数f（x）=a^x+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），其反函数f^-1（x）的图象过点（8，2）．（1）求a，k的值

（2）若将y=f^-1（x）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，就得到函数y=g（x）的图象，写出y=g（x）的解析式

（3）若函数F（x）=g（x²）-f^-1（x），求F（x）的最小值及取得最小值时x的值．

答案

（1）∵函数f（x）=a^x+k（a＞0且a≠1）的图象过点（-1，1），

∴f（-1）=a^-1+k=1，

解得k=1．

∵函数f（x）=a^x+k反函数f^-1（x）的图象过点（8，2），

∴函数f（x）=a^x+k的图象过点（2，8），

∴a^2+k=8，即a³=8，

∴a=2．

（2）由（1）得f（x）=2^x+1，

∴f^-1（x）=log₂^x-1．

将y=f^-1（x）的图象向左移2，向上移1得f^-1（x+2）-1=log₂（x+2），

∴g（x）=log₂（x+2）．（x＞-2）

（3）f（x）=g（x²）-f^-1（x）

=log₂（x²+2）-log₂^x+1（x＞0）

=log2

x2+2

+1=log2(x+

)+1，

∴x＞0，

∴x+

≥2

，

当且仅当x=

时取

∴F(x)min=F(

)=log22

+1=

．