问题
解答题
已知动点P（x，y）到点F（0，1）与到直线y=-1的距离相等，
（1）求点P的轨迹L的方程；
（2） 若正方形ABCD的三个顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜0≤x2＜x3）在（1）中的曲线L上，设BC的斜率为k，l=|BC|，求l关于k的函数解析式l=f（k）；
（3）求（2）中正方形ABCD面积S的最小值．
答案
（1）由题设可得动点P的轨迹方程为x2=4y．（4分）
（2）由（1），可设直线BC的方程为：y=k(x-x2)+
（k＞0），x 22 4
，y=k(x-x2)+ x 22 4 x2=4y
易知x2、x3为该方程的两个根，故有x2+x3=4k，得x3=4k-x2，
从而得|BC|=
(x3-x2)=21+k2
(2k-x2)（6分）1+k2
类似地，可设直线AB的方程为：y=-
(x-x2)+1 k
，x 22 4
从而得|AB|=
(2+kx2)，（8分）2 1+k2 k2
由|AB|=|BC|，得k2•（2k-x2）=（2+kx2），
解得x2=
，l=f(k)=2(k3-1) k2+k
（k＞0）．（10分）4
(k2+1)1+k2 k(k+1)
（3）因为l=f(k)=
≥4
(k2+1)1+k2 k(k+1)
=44•
•2k(1+k)2 2 k(k+1)
，（12分）2
所以S=l2≥32，即S的最小值为32，
当且仅当k=1时取得最小值．（14分）