问题
填空题
| 已知定义在R上的函数f（x）同时满足： ①f(0)=f(
则（1）f(
（2）函数f（x）的最大值是______． |
答案
（1）由题意得：f（
+x）+f（x）=f[（π 2
+x）+π 4
]+f[（π 4
+x）-π 4
]=2f（π 4
+x）cosπ 4
+8sin2π 2
=8×（π 4
）2=4；2 2
（2）令m=
，n=π 4
+x，π 4
根据题意得：f（
+π 4
+x）+f（π 4
-π 4
-x）=f（π 4
+x）+f（-x）π 2
=2f（
）cos（π 4
+2x）+8sin2（π 2
+x）=4-2sin2x（i），π 4
又由（1）得f（
+x）+f（x）=4（ii），π 2
∴（ii）-（i）得：f（x）-f（-x）=4-（4-2sin2x）=2sin2x③，
令m=0，n=x，
根据题意得：f（0+x）+f（0-x）=f（x）+f（-x）=2cos2x+8sin2x=2cos2x+8×
=4-2cos2x④，1-cos2x 2
（③+④）÷2得：f（x）=2-（sin2x+cos2x）=2-
sin（2x+2
），π 4
∵sin（2x+
）∈[-1，1]，π 4
∴f（x）的最大值为2+
．2
故答案为：（1）4；（2）2+2