问题
解答题
设函数f（x）=x2+bln（2x+1），其中b≠0．
（1）若己知函数f（x）是增函数，求实数b的取值范围；
（2）若己知b=1，求证：对任意的正整数n，不等式n＜f（n）恒成立．
答案
（1）由题意知，f（x）的定义域为（-
，+∞），f/(x)=1 2 4x2+2x+2b 2x+1
∵函数f（x）是增函数，∴f/(x)=
≥0在（-4x2+2x+2b 2x+1
，+∞）上恒成立，1 2
∴4x2+2x+2b≥0在（-
，+∞）上恒成立，即b≥-2x2-x在（-1 2
，+∞）上恒成立1 2
又∵-2x2-x≤
，当且仅当x=-1 8
时，等号成立，∴b≥1 4 1 8
（Ⅱ）∵b=1，∴f（x）=x2+ln（2x+1）
设函数g（x）=f（x）-x=x2-x+ln（2x+1），则g（x）的定义域也是（-
，+∞），并且g/(x)=1 2
＞0 4x2+1 2x+1
∴g（x）在整个定义域（-
，+∞）上是增函数．1 2
∴对任意的正整数n，有g（n）＞g（0）恒成立
即对任意的正整数n，f（n）-n＞0，也即不等式n＜f（n）恒成立．