（1）由题意，g′(x)=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0．

∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1-1≥0，

即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得θ=

π

2

．

（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx．

∴(f(x)-g(x))′=

mx2-2x+m

x2

．

∵f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，

∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，

而

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，（

2

x+ 1 x

）_max=1，∴m≥1．mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，即m≤

2x

1+x2

在[1，+∞）恒成立，而

2x

x2+1

∈（0，1]，m≤0．

综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

（3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(x)=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

．

当m≤0时，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，

所以在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立．

当m＞0时，(F(x))′=m+

m

x2

-

2

x

+

2e

x2

=

mx2-2x+m+2e

x2

．

因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，

所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．

故F（x）在[1，e]上单调递增，F(x)max=F(e)=me-

m

e

-4，只要me-

m

e

-4＞0，

解得m＞

4e

e2-1

．

故m的取值范围是(

4e

e2-1

，+∞)．