问题
解答题
已知函数f（x）=log2（2x+1）
（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
（2）记f-1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．
答案
（1）任取x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=log2（2x1+1）-log2（2x2+1）=log2
，2x1+1 2x2+1
∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1，
∴0＜
＜1，log22x1+1 2x2+1
＜0，2x1+1 2x2+1
∴f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增
（2）∵f-1（x）=log2（2x-1）（x＞0），
∴m=f-1（x）-f（x）=log2（2x-1）-log2（2x+1）=log2
=log2(1-2x-1 2x+1
)2 2x+1
当1≤x≤2时，
≤2 5
≤2 2x+1
，2 3
∴
≤1-1 3
≤2 2x+1 3 5
∴m的取值范围是[log2(
)，log2(1 3
)]3 5