已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f

问题解答题

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（-2）=f（0）=0，f（x）的最小值为-1．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设g（x）=f（-x）-mf（x）+1，若g（x）在[-1，1]上是减函数，求实数m的取值范围．

答案

（1）由题意，函数的对称轴为直线x=-1，设f（x）=a（x+1）²-1，

∵f（0）=0，∴a-1=0，∴a=1，

∴f（x）=（x+1）²-1；

（2）g（x）=f（-x）-mf（x）+1=（-x+1）²-1-m（x+1）²+m+1=（1-m）x²-2（1+m）x+1

①m=1时，g（x）=-4x+1在[-1，1]上是减函数，满足题意；

②

1-m＞0

1+m

1-m

≥1

或

1-m＜0

1+m

1-m

≤-1

，解得0≤m＜1或m＞1

综上知，m≥0．