问题
解答题
已知y=f（x）（x≠0）对任意x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）是偶函数；
（3）若f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f（log2x）＞0．
答案
（1）∵任意x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
令x1=x2=1
∴f（1）=f（1）+f（1）=2f（1）
∴f（1）=0
证明：（2）∵任意x1，x2恒有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）
令x1=x2=-1，可得，f（1）=2f（-1）=0
∴f（-1）=0
令x2=-1，则可得，f（-x1）=f（x1）+f（-1）=f（x1）
∴函数f（x）为偶函数
（3）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数
由偶函数的性质可得，函数在（-∞，0上是减函数
∵f（log2x）＞0=f（1）=f（-1）
∴|log2x|＞1
∴log2x＞1或log2x＜-1
∴x＞2或0＜x＜1 2