问题
解答题
已知定义在R上的函数f（x）=2x+
（1）求a的值； （2）判断函数f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用单调性定义给予证明； （3）求函数f（x）的值域． |
答案
（1）由f（x）为偶函数，可得f（-x）=f（x），即 2x+
=a 2x
+a•2x ，…2分1 2x
从而a=1． …4分
f（x）=2x+
． …5分1 2x
（2）函数f（x）在（0，+∞）内单调增．
证明：任取 0＜x1＜x2，…6分
f（x1）-f（x2）=2x1+
-2x2-1 2x1
=（2x1-2x2 ）+1 2x2
=（2x1-2x2 ）（1-2x2-2x1 2x1•2x2
）=（2x1-2x2 ）（1 2x1•2x2
），…..7分2x2+x1-1 2x1•2x2
由条件-∞＜x1＜x2，可得（2x1-2x2 ）＜0，）（
）＞0，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．2x2+x1-1 2x1•2x2
故函数f（x）在（0，+∞）内单调增．…..10分
（3）∵函数 f（x）=2x+
，令 t=2x＞0，…..11分1 2x
则 y=t+
，（ t＞0）…..12分1 t
由基本不等式可得y=t+
≥2，当且仅当t=1时，等号成立，…..14分1 t
所以函数的值域为[2，+∞）．…..15分．