某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小

问题解答题

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。

答案

解：（1）要使相遇时小艇的航行距离最小，小艇应沿正北方向航行

如图，AC=AO·sin30°=10，OC=AO·cos30°=

由30t=10及

得t=，

即小艇航行速度应为（海里/小时）；

（2）由（1）得OC=10，AC=10

故OC>AC，且对于线段AC上任意点P，有OP≥OC>AC

而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇

设∠COD=θ（0°<θ<90°），

则在Rt△COD中，

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t=和t=

所以

解得

又

故

从而30°≤θ<90°，由于θ=30°时，tanθ取得最小值，且最小值为

于是当θ=30°时，取得最小值，且最小值为

此时，在△OAB中，OA=OB=AB=20

故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。