（1）∵f（x）为奇函数，

∴f（0）=0，

∴k-1=0，

∴k=1

经验证可知k=1时符合题意．…（4分）

（2）因f（x）是奇函数，

故f（x+2）+f（3-2x）＞0可化为f（x+2）＞f（2x-3）．…（6分）

∵0＜a＜1，

∴f（x）在R上是单调减函数，…（8分）

∴x+2＜2x-3，

∴x＞5

∴满足为f（x+2）+f（3-2x）＞0的x的取值范围为（5，+∞）…（10分）

（3）∵f（1）=

8

3

，

∴a-

1

a

=

8

3

，即3a²-8a-3=0，

∴a=3（或a=-

1

3

舍去）．…（12分）

∴g（x）=3^2x+3^-2x-2m（3^x-3^-x）+2=（3^x-3^-x）2-2m（3^x-3^-x）+2

令t=3^x-3^-x，

∵x≥1，

∴t≥f（1）=

8

3

．

∴（3^x-3^-x）2-2m（3^x-3^-x）+2=（t-m）²+2-m²．

当m≥

8

3

时，2-m²=-2，m=2，2＜

8

3

，故m=2应舍去；…（14分）

当m＜

8

3

时，(

8

3

)2-2m×

8

3

+2=-2，m=

25

12

＜

8

3

．

∴m=

25

12

．…（16分）